Tópico 12 – Probabilidade
Vamos aprender o básico do básico de probabilidade. Vocês terão mais de um curso com esse assunto!
Resultados Esperados
- Entender o que são eventos, massa e densidade.
- Entender algumas propriedades básicas de probabilidade.
- Independência e Bayes
Material Adaptado do DSC10 (UCSD)
Agenda
Abordaremos os fundamentos da teoria das probabilidades. Esta é uma lição de matemática; faça anotações escritas. ✍🏽
Alguns locais para ler mais sobre o assunto
A probabilidade é um assunto complicado. Se não clicar durante a aula ou nas tarefas, dê uma olhada nos seguintes recursos:
-Computational and Inferential Thinking, Chapter 9.5.
-Theory Meets Data, Chapters 1 and 2.
-Khan Academy’s unit on Probability.
Teoria da probabilidade
- Algumas coisas na vida parecem aleatórias.
- por exemplo. jogando uma moeda ou lançando um dado 🎲.
- A probabilidade de ver “cara” ao lançar uma moeda honesta é $\frac{1}{2}$.
- Uma interpretação da probabilidade diz que se lançássemos uma moeda infinitamente muitas vezes, então $\frac{1}{2}$ dos resultados seriam caras.
Terminologia
- Experimento: Um processo ou ação cujo resultado é aleatório.
- por exemplo, lançar um dado.
- por exemplo, jogar uma moeda duas vezes.
- Resultado: O resultado de um experimento.
- por exemplo, os resultados possíveis do lançamento de um dado de seis lados são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
- por exemplo, os resultados possíveis de jogar uma moeda duas vezes são HH, HT, TH e TT.
- Evento: um conjunto de resultados.
- por exemplo, o evento em que o dado cai num número par é o conjunto de resultados {2, 4, 6}.
- por exemplo, o evento em que o dado cai em 5 é o conjunto de resultados {5}.
- por exemplo, o evento em que há pelo menos 1 cara em 2 lançamentos é o conjunto de resultados {HH, HT, TH}.
Terminologia
- Probabilidade: um número entre 0 e 1 (equivalentemente, entre 0% e 100%) que descreve a probabilidade de um evento.
- 0: o evento nunca acontece.
- 1: o evento sempre acontece.
- Notação: se $A$ é um evento, $P(A)$ é a probabilidade desse evento.
Resultados igualmente prováveis
- Se todos os resultados do evento $A$ forem igualmente prováveis, então a probabilidade de $A$ é
- Exemplo 1: Suponha que lançamos uma moeda não enviesada 3 vezes. Qual é a probabilidade de vermos exatamente 2 caras?
Verificação de conceito ✅
Tenho três cartas: vermelha, azul e verde. Qual é a chance de eu escolher uma carta aleatoriamente e ela ser verde, então – sem devolvê-la – eu escolher outra carta aleatoriamente e ela ser vermelha?
- A) $\frac{1}{9}$
- B) $\frac{1}{6}$
- C) $\frac{1}{3}$
- D) $\frac{2}{3}$
- E) Nenhuma das opções acima.
Probabilidades condicionais
- Dois eventos $A$ e $B$ podem acontecer. Suponha que sabemos que $A$ aconteceu, mas não sabemos se $B$ aconteceu.
- Se todos os resultados forem igualmente prováveis, então a probabilidade condicional de $B$ dado $A$ é:
\(P(B \text{ dado } A) = P(B | A) = = \frac{ \text{\# de resultados que satisfazem $A$ e $B$} }{ \text{\# de resultados satisfatórios $A$} }\)
- Intuitivamente, isso é semelhante à definição da probabilidade regular de $B$, $P(B) = \frac{ \text{# de resultados satisfatórios $B$} }{ \text{número total de resultados} }$, se você restringir o conjunto de resultados possíveis apenas aos do evento $A$.
Verificação de conceito ✅
\[P(B \text{ dado } A) = P(B | A) = \frac{ \text{\# de resultados que satisfazem $A$ e $B$} }{ \text{\# de resultados satisfatórios $A$} }\]Eu jogo um dado de seis lados e não digo qual é o resultado, mas digo que é 3 ou menos. Qual é a probabilidade de o resultado ser par?
- A) $\frac{1}{2}$
- B) $\frac{1}{3}$
- C) $\frac{1}{4}$
- D) Nenhuma das opções acima.
Probabilidade de que dois eventos aconteçam
- Suponha novamente que $A$ e $B$ são dois eventos e que todos os resultados são igualmente prováveis. Então, a probabilidade de que $A$ e $B$ ocorram é
- Exemplo 2: Eu jogo um dado justo de seis lados. Qual é a probabilidade de o lançamento ser 3 ou menos e par?
A regra da multiplicação
- A regra de multiplicação especifica como calcular a probabilidade de $A$ e $B$ acontecerem, mesmo que todos os resultados não sejam igualmente prováveis.
- Exemplo 2, novamente: Eu jogo um dado justo de seis lados. Qual é a probabilidade de o lançamento ser 3 ou menos e par?
E se $A$ não for afetado por $B$? 🤔
- A regra de multiplicação afirma que, para quaisquer dois eventos $A$ e $B$, \(P(A \text{ e } B) = P(A) \cdot P(B \text{ dado } A)\)
- E se saber que $A$ acontece não lhe disser nada sobre a probabilidade de $B$ acontecer?
- Suponha que joguemos uma moeda honesta três vezes.
- A probabilidade de o segundo lançamento dar cara não depende do resultado do primeiro lançamento.
- Então, o que é $P(A \text{ e } B)$?
Eventos independentes
- Dois eventos $A$ e $B$ são independentes se $P(B \text{ dado } A) = P(B) :$, ou equivalentemente se \(P(A \text{ e } B) = P (A) \cdot P(B)\)
- Exemplo 3: Suponha que temos uma moeda que é viciada e dá cara com probabilidade de 0,7. Cada lançamento é independente de todos os outros lançamentos. Nós viramos 5 vezes. Qual é a probabilidade de vermos 5 caras seguidas?
Probabilidade de um evento não acontecer
- A probabilidade de $A$ não acontecer é $1 - P(A) :$.
- Por exemplo, se a probabilidade de amanhã fazer sol é 0,85, então a probabilidade de não fazer sol amanhã é 0,15.
Verificação de conceito ✅
Cada vez que ligo para minha avó 👵, a probabilidade de ela atender o telefone é $\frac{1}{3}$, independentemente para cada ligação. Se eu ligar três vezes para minha avó hoje, qual a chance de falar com ela pelo menos uma vez?
- A) $\frac{1}{3}$
- B) $\frac{2}{3}$
- C) $\frac{1}{2}$
- D)$1$
- E) Nenhuma das opções acima.
Probabilidade de qualquer um dos dois eventos acontecer
- Suponha novamente que $A$ e $B$ são dois eventos e que todos os resultados são igualmente prováveis. Então, a probabilidade de que $A$ ou $B$ ocorram é
- Exemplo 4: Eu jogo um dado justo de seis lados. Qual é a probabilidade de o lançamento ser par ou pelo menos 5?
A regra de adição
- Suponha que se $A$ acontecer, então $B$ não acontecerá, e se $B$ acontecer, então $A$ não acontecerá.
- Tais eventos são chamados de mutuamente exclusivos – eles não têm sobreposição.
- Se $A$ e $B$ são quaisquer dois eventos mutuamente exclusivos, então
- Exemplo 5: Suponha que eu tenha duas moedas tendenciosas, a moeda $A$ e a moeda $B$. A moeda $A$ dá cara com probabilidade 0,6 e a moeda $B$ dá cara com probabilidade 0,3. Eu jogo as duas moedas uma vez. Qual é a probabilidade de eu ver duas faces diferentes?
À parte: prova da regra de adição para eventos igualmente prováveis
Você não é obrigado a saber como “provar” nada neste curso; você pode achar isso interessante.
Se $A$ e $B$ são eventos que consistem em resultados igualmente prováveis e, além disso, $A$ e $B$ são mutuamente exclusivos (o que significa que não têm sobreposição), então
\[\begin{align*} P(A \text{ ou } B) &= \frac{ \text{\# de resultados que satisfazem $A$ ou $B$} }{ \text{número total de resultados} } \\[1em] &= \frac{ (\text{\# de resultados satisfatórios $A$}) + (\text{\# de resultados satisfatórios $B$}) }{ \text{número total de resultados} } \\[1em] &= \frac{ (\text{\# de resultados satisfatórios $A$}) }{ \text{número total de resultados} } + \frac{ (\text{\# de resultados satisfatórios $B$}) }{ \text{número total de resultados} } \\[1em] &= P(A) + P(B) \end{align*}\]Resumo, da próxima vez
- Probabilidade descreve a probabilidade de ocorrência de um evento.
- Existem várias regras para calcular probabilidades. Analisamos muitos casos especiais que envolviam eventos igualmente prováveis.
- Existem duas regras gerais a ter em conta:
- A regra de multiplicação, que afirma que para quaisquer dois eventos, $P(A \text{ e } B) = P(B \text{ dado } A) \cdot P(A) :$.
- A regra de adição, que afirma que para quaisquer dois eventos mutuamente exclusivos, $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$.
- Próxima vez: simulações.
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